Признаки делимости по последним цифрам — самый быстрый способ проверить, делится ли число на 2, 4, 5, 8, 10, 16, 25, 32, 64, 100, 125, 625 и другие степени двойки и пятёрки. Все эти признаки объединяет один общий принцип: достаточно посмотреть на несколько последних цифр числа, не обращая внимания на остальные. Ниже разберём, почему это работает, и дадим правило для каждого делителя.
Почему достаточно смотреть на последние цифры
Десятичная система счисления построена на числе 10, а 10 = 2 × 5. Это значит:
- 10 делится на 2 и на 5 → для проверки достаточно 1 последней цифры.
- 100 = 4 × 25 делится на 4, на 25 → достаточно 2 последних цифр.
- 1 000 = 8 × 125 делится на 8, на 125 → достаточно 3 последних цифр.
- 10 000 = 16 × 625 делится на 16, на 625 → достаточно 4 последних цифр.
🔑 Общий принцип
Если делитель d является делителем числа 10n, то для проверки делимости любого числа на d достаточно проверить его последние n цифр. Все предыдущие цифры образуют число, кратное 10n, которое заведомо делится на d.
Признаки делимости на степени числа 2
Каждая следующая степень двойки требует проверки на одну цифру больше.
Признак делимости на 2
Число делится на 2, если его последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6, 8.
Пример. 4 736 → последняя цифра 6 (чётная) → делится. 891 → цифра 1 → не делится.
Признак делимости на 4 (2²)
Число делится на 4, если число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4.
Пример. 7 316 → последние две цифры 16 → 16 ÷ 4 = 4 → делится. 5 423 → цифры 23 → 23 ÷ 4 = 5 (ост. 3) → не делится.
Подсказка: удобно запомнить двузначные числа, кратные 4: 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 00.
Признак делимости на 8 (2³)
Число делится на 8, если число, образованное его тремя последними цифрами, делится на 8.
Пример. 51 120 → последние три цифры 120 → 120 ÷ 8 = 15 → делится. 9 345 → цифры 345 → 345 ÷ 8 = 43 (ост. 1) → не делится.
Подсказка: если трёхзначное число трудно разделить в уме, можно проверить по шагам: сначала убедитесь, что оно чётное, затем разделите пополам — результат должен делиться на 4.
Признак делимости на 16 (2⁴)
Число делится на 16, если число, образованное его четырьмя последними цифрами, делится на 16.
Пример. 230 048 → последние четыре цифры 0048 = 48 → 48 ÷ 16 = 3 → делится.
Признак делимости на 32 (2⁵)
Число делится на 32, если число, образованное его пятью последними цифрами, делится на 32.
Пример. 1 000 064 → последние пять цифр 00064 = 64 → 64 ÷ 32 = 2 → делится.
Признак делимости на 64 (2⁶)
Число делится на 64, если число, образованное его шестью последними цифрами, делится на 64.
Пример. 5 000 192 → последние шесть цифр 000192 = 192 → 192 ÷ 64 = 3 → делится.
Признаки делимости на степени числа 5
Устроены точно так же, как для двойки: каждая следующая степень пятёрки добавляет одну проверяемую цифру.
Признак делимости на 5
Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5.
Пример. 2 745 → цифра 5 → делится. 838 → цифра 8 → не делится.
Признак делимости на 25 (5²)
Число делится на 25, если его две последние цифры образуют одно из чисел: 00, 25, 50, 75.
Пример. 1 275 → последние две цифры 75 → делится (1 275 ÷ 25 = 51). 890 → цифры 90 → не делится.
Признак делимости на 125 (5³)
Число делится на 125, если число, образованное его тремя последними цифрами, делится на 125.
Пример. 48 375 → последние три цифры 375 → 375 ÷ 125 = 3 → делится. 7 400 → цифры 400 → 400 ÷ 125 = 3 (ост. 25) → не делится.
Подсказка: трёхзначных чисел, кратных 125, всего восемь: 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875.
Признак делимости на 625 (5⁴)
Число делится на 625, если число, образованное его четырьмя последними цифрами, делится на 625.
Пример. 101 5625 → последние четыре цифры 5625 → 5625 ÷ 625 = 9 → делится.
Производные признаки: на 10 и 100
Числа 10 и 100 — это произведения степеней двойки и пятёрки (10 = 2 × 5, 100 = 4 × 25), поэтому их признаки — частные случаи общего метода.
Число делится на 10, если его последняя цифра — 0.
Число делится на 100, если его две последние цифры — 00.
Сводная таблица признаков делимости по последним цифрам
| Делитель | Степень | Сколько цифр проверять | Правило |
|---|---|---|---|
| 2 | 2¹ | 1 | Последняя цифра чётная |
| 4 | 2² | 2 | Последние 2 цифры ÷ 4 |
| 8 | 2³ | 3 | Последние 3 цифры ÷ 8 |
| 16 | 2⁴ | 4 | Последние 4 цифры ÷ 16 |
| 32 | 2⁵ | 5 | Последние 5 цифр ÷ 32 |
| 64 | 2⁶ | 6 | Последние 6 цифр ÷ 64 |
| 5 | 5¹ | 1 | Последняя цифра 0 или 5 |
| 25 | 5² | 2 | 00, 25, 50 или 75 |
| 125 | 5³ | 3 | Последние 3 цифры ÷ 125 |
| 625 | 5⁴ | 4 | Последние 4 цифры ÷ 625 |
| 10 | 2×5 | 1 | Последняя цифра 0 |
| 100 | 2²×5² | 2 | Последние 2 цифры — 00 |
💡 Закономерность
Показатель степени = количество проверяемых цифр. Для 2n и 5n нужно проверять ровно n последних цифр. Это правило работает для любого n — хоть для 2¹⁰ = 1024 (десять последних цифр).
Другие методы проверки делимости
Признаки по последним цифрам покрывают только степени 2 и 5. Для других делителей используются иные подходы:
Признаки по сумме цифр
Делимость на 3, 9 и 11 — когда последние цифры не помогают, на помощь приходит сумма всех цифр числа.
Изучить методДелимость на составное число
Как проверить делимость на 6, 12, 15, 18, 36 — через разложение на взаимно простые множители.
Изучить методВсе признаки — 5–6 класс
Вернуться к полному справочнику: таблица всех базовых признаков делимости с правилами и примерами.
На главную