Признак делимости на составное число — это способ свести проверку к уже известным признакам для более простых делителей. Идея в том, что составное число можно разложить на множители и проверить делимость на каждый из них по отдельности. Однако есть важное условие: множители должны быть взаимно простыми. Если это правило не соблюдать — метод даст ошибку. Ниже разберём ключевое правило, конкретные примеры для популярных составных чисел и типичные ошибки.
Ключевое правило: взаимно простые множители
Число делится на составное число N, если оно делится одновременно на все множители N, при условии что эти множители взаимно просты (их НОД = 1).
Что значит «взаимно простые»? Два числа взаимно просты, если у них нет общих делителей, кроме 1. Например:
- 3 и 4 — взаимно просты (НОД = 1) ✓
- 2 и 3 — взаимно просты (НОД = 1) ✓
- 4 и 6 — не взаимно просты (НОД = 2) ✗
- 2 и 6 — не взаимно просты (НОД = 2) ✗
💡 Почему множители должны быть взаимно просты
Если множители имеют общий делитель, то проверка покрывает «одну и ту же часть» дважды, но не покрывает другую. Например, число 12 делится и на 2, и на 6, но не делится на 2 × 6 = 12… подождите, оно как раз делится. А число 6? Делится на 2 и на 6, но делится ли 6 на 12? Нет. Проблема в том, что 2 и 6 не взаимно просты, и условие «делится на 2 и на 6» равносильно лишь «делится на 6», а не «делится на 12».
Признак делимости на 6
Число 6 = 2 × 3. Числа 2 и 3 взаимно просты (НОД = 1).
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. То есть: последняя цифра чётная и сумма цифр делится на 3.
Примеры
- 354: последняя цифра 4 (чётная ✓), сумма 3+5+4=12 (делится на 3 ✓) → делится на 6. Проверка: 354 ÷ 6 = 59.
- 81: последняя цифра 1 (нечётная ✗) → сразу нет, не делится на 6.
- 28: последняя цифра 8 (чётная ✓), но 2+8=10 (не делится на 3 ✗) → не делится на 6.
💡 Достаточно одной неудачной проверки
Если число не прошло хотя бы один из двух тестов — оно не делится на 6. Можно начинать с более быстрой проверки (на 2 — по последней цифре) и при неудаче не считать сумму цифр.
Признак делимости на 12
Число 12 = 4 × 3. Числа 4 и 3 взаимно просты (НОД = 1).
Число делится на 12, если оно делится одновременно на 4 и на 3. То есть: две последние цифры образуют число, делящееся на 4, и сумма всех цифр делится на 3.
Примеры
- 1 236: последние две цифры 36 (36 ÷ 4 = 9 ✓), сумма 1+2+3+6=12 (делится на 3 ✓) → делится на 12. Проверка: 1 236 ÷ 12 = 103.
- 918: последние две цифры 18 (18 ÷ 4 = 4, ост. 2 ✗) → не делится на 12.
Нельзя проверять делимость на 12 через «делится на 2 и на 6». Числа 2 и 6 не взаимно просты (НОД = 2). Число 18 делится и на 2, и на 6, но не делится на 12. Правильное разложение: 12 = 4 × 3.
Признаки делимости на 15, 18 и 36
Признак делимости на 15
15 = 3 × 5. Числа 3 и 5 взаимно просты.
Число делится на 15, если оно делится одновременно на 3 и на 5. То есть: последняя цифра 0 или 5 и сумма цифр делится на 3.
Пример. 2 745: последняя цифра 5 ✓, сумма 2+7+4+5=18 (делится на 3 ✓) → делится на 15. Проверка: 2 745 ÷ 15 = 183.
Признак делимости на 18
18 = 2 × 9. Числа 2 и 9 взаимно просты.
Число делится на 18, если оно делится одновременно на 2 и на 9. То есть: последняя цифра чётная и сумма цифр делится на 9.
Пример. 5 994: последняя цифра 4 (чётная ✓), сумма 5+9+9+4=27 (делится на 9 ✓) → делится на 18. Проверка: 5 994 ÷ 18 = 333.
Признак делимости на 36
36 = 4 × 9. Числа 4 и 9 взаимно просты.
Число делится на 36, если оно делится одновременно на 4 и на 9. То есть: две последние цифры делятся на 4 и сумма всех цифр делится на 9.
Пример. 7 452: последние цифры 52 (52 ÷ 4 = 13 ✓), сумма 7+4+5+2=18 (делится на 9 ✓) → делится на 36. Проверка: 7 452 ÷ 36 = 207.
Типичная ошибка: когда множители не взаимно просты
Самая распространённая ошибка — разложить число на множители, которые не являются взаимно простыми, и применить к ним метод.
12 = 2 × 6. НОД(2, 6) = 2 ≠ 1. Число 18 делится на 2 и на 6, но не делится на 12.
24 = 4 × 6. НОД(4, 6) = 2 ≠ 1. Число 12 делится на 4 и на 6, но не делится на 24.
36 = 6 × 6. НОД(6, 6) = 6 ≠ 1. Число 6 делится на 6 и на 6, но не делится на 36.
Правильные разложения:
- 12 = 4 × 3 (НОД = 1 ✓)
- 24 = 8 × 3 (НОД = 1 ✓)
- 36 = 4 × 9 (НОД = 1 ✓)
Как составить признак для любого составного числа
Алгоритм работает для любого составного числа N:
- Разложите N на простые множители: N = p₁a₁ × p₂a₂ × … × pkak.
- Сгруппируйте множители так, чтобы группы были взаимно просты. Каждая группа — это степень одного простого числа: p₁a₁, p₂a₂ и т. д.
- Проверьте делимость исходного числа на каждую группу с помощью известных признаков.
Пример: признак делимости на 60
60 = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5. Множители 4, 3, 5 попарно взаимно просты.
Число делится на 60, если одновременно:
- Две последние цифры делятся на 4;
- Сумма цифр делится на 3;
- Последняя цифра — 0 (потому что должно делиться и на 5, и на 4 — последняя цифра должна быть и чётной, и 0/5, то есть 0).
Проверим число 1 380. Последняя цифра 0 ✓ (делится на 5 и на 2). Последние две цифры 80 (80 ÷ 4 = 20 ✓). Сумма 1+3+8+0=12 (делится на 3 ✓). Итого: делится на 60. Проверка: 1 380 ÷ 60 = 23.
Пример: признак делимости на 72
72 = 2³ × 3² = 8 × 9. Множители 8 и 9 взаимно просты.
Число делится на 72, если одновременно:
- Три последние цифры делятся на 8;
- Сумма цифр делится на 9.
Сводная таблица для популярных составных чисел
| Число | Разложение | Должно делиться на |
|---|---|---|
| 6 | 2 × 3 | 2 и 3 |
| 12 | 4 × 3 | 4 и 3 |
| 15 | 3 × 5 | 3 и 5 |
| 18 | 2 × 9 | 2 и 9 |
| 24 | 8 × 3 | 8 и 3 |
| 36 | 4 × 9 | 4 и 9 |
| 45 | 9 × 5 | 9 и 5 |
| 60 | 4 × 3 × 5 | 4, 3 и 5 |
| 72 | 8 × 9 | 8 и 9 |
Связанные разделы
Признаки по последним цифрам
Правила для проверки на 2, 4, 5, 8, 25 — используются при разложении составных чисел.
Изучить методПризнаки по сумме цифр
Правила для проверки на 3 и 9 — вторая половина проверок для составных чисел.
Изучить методВсе признаки — 5–6 класс
Полный справочник базовых признаков делимости с правилами и примерами.
На главную