Признаки делимости по суммам и разностям блоков цифр

Признаки делимости по блокам цифр — мощный метод, позволяющий проверять делимость на числа, для которых обычные приёмы (последняя цифра, сумма цифр) не работают. Идея проста: разбиваем число на группы (блоки) по 2, 3 или 4 цифры справа налево, а затем складываем или вычитаем эти блоки попеременно. Метод особенно хорош для больших чисел, где линейный алгоритм потребовал бы множества шагов.

Принцип метода: почему блоки работают

Метод основан на том же подходе, что и признаки по сумме цифр, только вместо отдельных цифр мы работаем с группами цифр.

Ключевое наблюдение: если 10^k при делении на число d даёт остаток +1 или −1, то можно построить признак делимости на d через блоки по k цифр.

• 10³ = 1000. При делении на 7: 1001 = 7 × 11 × 13, значит 1000 ≡ −1 (mod 7). Это даёт знакочередующуюся сумму блоков по 3 для делимости на 7, 11 и 13.
• 10³ = 1000. При делении на 37: 999 = 27 × 37, значит 1000 ≡ +1 (mod 37). Это даёт обычную сумму блоков по 3 для делимости на 37.
• 10² = 100. При делении на 101: 100 ≡ −1 (mod 101). Это даёт знакочередующуюся сумму блоков по 2 для делимости на 101.

Блоки по 3 цифры: делимость на 7, 11 и 13

Число 1001 = 7 × 11 × 13. Поэтому 1000 = 1001 − 1, и 10³ ≡ −1 по модулю 7, 11 и 13. Отсюда один и тот же приём работает сразу для трёх делителей.

Пример: число 5 765 214

Разбиваем на блоки по 3 справа налево:

5 | 765 | 214

Знакочередующаяся сумма (справа налево: +, −, +):

+214 − 765 + 5 = −546

• −546 ÷ 7 = −78 → делится на 7 ✓
• −546 ÷ 11 = −49, остаток 7 → не делится на 11 ✗
• −546 ÷ 13 = −42 → делится на 13 ✓

Проверка: 5 765 214 ÷ 7 = 823 602; 5 765 214 ÷ 13 = 443 478.

Пример: число 1 922 921

Блоки: 1 | 922 | 921

+921 − 922 + 1 = 0

Ноль делится на любое число → делится на 7, 11 и 13. Проверка: 1 922 921 = 7 × 11 × 13 × 1 921.

Делимость на 37: обычная сумма блоков по 3

Число 999 = 27 × 37, поэтому 1000 ≡ +1 (mod 37). Здесь используется обычная сумма (без знакочередования).

Пример. Число 148 999: блоки 148 и 999. Сумма: 148 + 999 = 1 147. Проверяем: 1 147 ÷ 37 = 31 → делится. Значит, 148 999 делится на 37.

Блоки по 2 цифры: делимость на 101

Число 100 = 101 − 1, поэтому 10² ≡ −1 (mod 101).

Пример. Число 57 832: блоки 5 | 78 | 32. Знакочередующаяся сумма: +32 − 78 + 5 = −41. Число −41 не делится на 101 → 57 832 не делится на 101.

Пример. Число 30 705: блоки 3 | 07 | 05. Знакочередующаяся сумма: +05 − 07 + 3 = 1. Не делится.

Пример. Число 110 201: блоки 11 | 02 | 01. Знакочередующаяся сумма: +01 − 02 + 11 = 10. Не делится. А вот число 10 201: блоки 1 | 02 | 01. Сумма: +01 − 02 + 1 = 0 → делится (10 201 = 101 × 101).

Блоки по 4 цифры: делимость на 73 и 137

Число 10 001 = 73 × 137. Поэтому 10 000 = 10 001 − 1, и 10⁴ ≡ −1 по модулю 73 и 137.

Пример. Число 7 300 730: блоки 730 | 0730. Знакочередующаяся сумма: +0730 − 730 = 0 → делится и на 73, и на 137.

Специальный случай: делимость на 999

Число 999 = 27 × 37 = 3³ × 37. Признак делимости на 999 строится через обычную сумму блоков по 3 цифры (так как 1000 ≡ +1 mod 999).

Пример. Число 999 999: блоки 999 и 999. Сумма: 999 + 999 = 1 998 = 999 × 2 → делится. Действительно, 999 999 = 999 × 1001.

Полный пример: проверяем большое число

Проверим число 12 457 893 на делимость на 7, 11, 13 и 37.

Шаг 1. Разбиваем на блоки по 3 справа налево:

12 | 457 | 893

Шаг 2. Знакочередующаяся сумма (для 7, 11, 13):

+893 − 457 + 12 = 448

• 448 ÷ 7 = 64 → делится на 7 ✓
• 448 ÷ 11 = 40, остаток 8 → не делится на 11 ✗
• 448 ÷ 13 = 34, остаток 6 → не делится на 13 ✗

Шаг 3. Обычная сумма (для 37):

893 + 457 + 12 = 1 362

1 362 ÷ 37 = 36, остаток 30 → не делится на 37 ✗.

Итог: число 12 457 893 делится на 7, но не делится на 11, 13 или 37. Проверка: 12 457 893 ÷ 7 = 1 779 699.

Сводная таблица признаков по блокам цифр

Другие методы проверки делимости