Признаки делимости в 4 классе — это тема, которая объединяет уже знакомые правила из начальной школы и новые, более интересные приёмы. К этому моменту ученик уверенно определяет делимость на 2, 5 и 10 по последней цифре. Теперь пора освоить признаки делимости на 3 и на 9, основанные на сумме цифр числа. Эти правила часто встречаются в заданиях ВПР по математике.

Повторение: признаки делимости на 2, 5 и 10

Эти три правила вы уже знаете из программы 2–3 класса. Напомним их кратко:

Делится на Правило Пример
2 Последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8) 46 → делится, 37 → не делится
5 Последняя цифра 0 или 5 95 → делится, 82 → не делится
10 Последняя цифра 0 480 → делится, 45 → не делится

Подробный разбор с примерами и упражнениями — на странице «Признаки делимости — 2–3 класс».

Новое правило: признак делимости на 3

В 4 классе появляется совершенно новый приём — проверка через сумму цифр. Вместо того чтобы смотреть только на последнюю цифру, мы складываем все цифры числа.

3 Правило

Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3.

Как это работает — шаг за шагом

Проверим, делится ли число 843 на 3:

  1. Записываем цифры числа: 8, 4, 3.
  2. Складываем их: 8 + 4 + 3 = 15.
  3. Проверяем: 15 ÷ 3 = 5 — делится без остатка.
  4. Значит, 843 делится на 3. Проверка: 843 ÷ 3 = 281.

Ещё примеры

  • 126 → 1 + 2 + 6 = 9. Число 9 делится на 3 → делится.
  • 5 841 → 5 + 8 + 4 + 1 = 18. Число 18 делится на 3 → делится.
  • 274 → 2 + 7 + 4 = 13. Число 13 не делится на 3 → не делится.
  • 500 → 5 + 0 + 0 = 5. Число 5 не делится на 3 → не делится.

💡 Если сумма получилась большой

Можно сложить цифры ещё раз. Например, число 987: сумма цифр 9 + 8 + 7 = 24. Не уверены насчёт 24? Складываем снова: 2 + 4 = 6. Число 6 делится на 3 — значит, и 987 делится на 3.

Попробуй сам

Какие из этих чисел делятся на 3: 45, 73, 111, 250, 369, 814?

✅ Ответ

45 (4+5=9 ✓), 111 (1+1+1=3 ✓), 369 (3+6+9=18 ✓) — делятся на 3. Числа 73 (7+3=10), 250 (2+5+0=7), 814 (8+1+4=13) — не делятся.

Новое правило: признак делимости на 9

Признак делимости на 9 работает точно так же, как признак на 3, — через сумму цифр. Разница только в одном: сумма должна делиться не на 3, а на 9.

9 Правило

Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.

Примеры

  • 729 → 7 + 2 + 9 = 18. Число 18 делится на 9 → делится. Проверка: 729 ÷ 9 = 81.
  • 2 016 → 2 + 0 + 1 + 6 = 9. Число 9 делится на 9 → делится.
  • 453 → 4 + 5 + 3 = 12. Число 12 не делится на 9 → не делится на 9 (но делится на 3).
  • 800 → 8 + 0 + 0 = 8. Число 8 не делится на 9 → не делится.

Чем отличается от признака на 3?

🔑 Главное отличие

Признак на 9 — это более строгое правило. Каждое число, которое делится на 9, автоматически делится и на 3. Но не наоборот: число 12 делится на 3 (1+2=3), но не делится на 9. Число 27 делится и на 3, и на 9 (2+7=9).

Попробуй сам

Определи, какие числа делятся на 9, а какие — только на 3: 81, 123, 243, 400, 558, 999.

✅ Ответ

Делятся на 9 (и на 3): 81 (8+1=9), 243 (2+4+3=9), 999 (9+9+9=27, 2+7=9). Делятся только на 3: 123 (1+2+3=6), 558 (5+5+8=18 — а 18 делится на 9, значит, 558 тоже делится на 9!). Не делится ни на 3, ни на 9: 400 (4+0+0=4).

Типичные ошибки

На контрольных и ВПР ученики чаще всего допускают три ошибки. Разберём каждую, чтобы вы их не повторяли.

✗ Ошибка 1: путают признак на 3 с последней цифрой

Некоторые думают, что число делится на 3, если его последняя цифра — 3 или 6. Это неправильно. Число 43 оканчивается на 3, но 4+3=7 — не делится на 3. А число 12 оканчивается на 2, но 1+2=3 — делится на 3. Нужно считать сумму всех цифр.

✗ Ошибка 2: забывают сложить все цифры

В больших числах ученики иногда забывают одну из цифр или пропускают ноль. Например, в числе 3 042: правильная сумма — 3+0+4+2 = 9 (делится на 3 и на 9). Если забыть ноль, сумма не изменится, но если пропустить другую цифру — ответ будет неверным.

✗ Ошибка 3: путают «делится на 3» и «делится на 9»

Число 123 — сумма цифр 1+2+3=6. Число 6 делится на 3, но не делится на 9. Значит, 123 делится на 3, но не делится на 9. Нужно проверять делимость суммы именно на то число, которое требуется в задаче.

Задание в формате ВПР

Подобные задачи часто встречаются на Всероссийских проверочных работах по математике в 4 классе.

📋 Задача

Из чисел 135, 248, 510, 729, 841 выпишите все числа, которые делятся:
а) на 2; б) на 3; в) на 5; г) на 9.

Решение

а) Делятся на 2 (последняя цифра чётная):

  • 248 (цифра 8 — чётная) ✓
  • 510 (цифра 0 — чётная) ✓

б) Делятся на 3 (сумма цифр делится на 3):

  • 135: 1+3+5 = 9 → делится на 3 ✓
  • 510: 5+1+0 = 6 → делится на 3 ✓
  • 729: 7+2+9 = 18 → делится на 3 ✓
  • 841: 8+4+1 = 13 → не делится на 3 ✗
  • 248: 2+4+8 = 14 → не делится на 3 ✗

в) Делятся на 5 (последняя цифра 0 или 5):

  • 135 (цифра 5) ✓
  • 510 (цифра 0) ✓

г) Делятся на 9 (сумма цифр делится на 9):

  • 135: 1+3+5 = 9 → делится на 9 ✓
  • 729: 7+2+9 = 18 → делится на 9 ✓
  • Остальные — нет.

Все признаки делимости для 4 класса

К концу 4 класса вы должны уверенно знать пять признаков делимости. Вот итоговая таблица:

Делитель Метод Правило
2 Последняя цифра 0, 2, 4, 6, 8
3 Сумма цифр Делится на 3
5 Последняя цифра 0 или 5
9 Сумма цифр Делится на 9
10 Последняя цифра 0

Что дальше

Освоив эти пять признаков, вы готовы к программе 5–6 класса, где к ним добавятся признаки делимости на 4, 25 и 11:

🔢

Признаки делимости — 2–3 класс

Вернуться к базовым правилам: чётные числа, деление на 2, 5 и 10 с наглядными примерами.

Вернуться к 2–3 классу
📐

Все признаки — 5–6 класс

Полный справочник: на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 — правила, примеры и объяснения «Почему это работает».

На главную
➕

Признаки по сумме цифр

Углублённый разбор: почему правило суммы цифр работает, доказательство и признак на 11.

Подробнее о сумме цифр